Ce problème fut posé pour la première fois sous une autre forme par le mathématicien Joseph Louis Francis Bertrand (1822-1900).
Commençons par justifier le raisonnement de B dont l’analyse est « Une route prise au hasard est définie par l’orientation de son cap quelconque et la distance de la route au radar également quelconque mais comprise entre 0 et 100 km. Il suffit donc que sa distance soit inférieure à 50 km pour que le navire soit identifiable »
La notion « prise au hasard » signifie qu’aucune direction n’est privilégiée et qu’il n’y a aucune relation entre la direction suivie et la distance (caractérisée par la longueur du segment issu du radar et perpendiculaire à la route, cf. Figure 1).
Cette distance est également uniformément aléatoire. Parmi les routes « détectables » dont les distances sont inférieures à 100 km seules les routes éloignées de moins de 50 km sont « identifiables ». Quelle que soit la direction de la route il y a donc une chance sur deux pour que la distance soit inférieure à 50 km. La réponse est donc 50%.
C fait remarquer que seul le point de la route le plus proche du radar caractérise cette dernière. En effet ce point détermine non seulement la distance (au sens défini ci-dessus) et la direction puisque la route est rectiligne. Pour cette analyse route « au hasard » signifie choisir un point du disque.
Une route « détectable » est donc une route dont le point le plus proche est dans le disque de rayon 50 km. Or en choisissant un point au hasard dans le disque de rayon 100 km il y a une chance sur quatre que ce point soit dans le petit disque puisque les surfaces des deux disques sont dans ce rapport. La réponse est donc 25 %.
Pour trouver le résultat de A, il faut faire un peu de géométrie. Choisissons un point d’entrée dans la zone des routes détectables. Suivant la direction de la route celle-ci sera identifiable ou non. Il y a donc 2 directions critiques, celles qui laissent d’un coté les routes identifiables et de l’autre les non identifiables.
Il se trouve que ces deux directions correspondent exactement au coté du triangle équilatéral inscrit dans le cercle et ayant le point d’entrée pour un des sommets. Seront identifiables toutes les routes dont la direction est intérieure à l’angle du triangle qui comme chacun sait fait 60° (cf. Figure 2).
Les routes détectables entrant par le point couvre un angle de 180°. Quel que soit le point d’entrée la direction sera prise au hasard dans ce champ de 180°, il y a donc une chance sur trois (60/180) pour que la route soit identifiable. La réponse est donc 33%.
Qui a raison ? En fait les trois modèles sont à la fois vrais ou faux. S’il y a paradoxe c’est que la question n’est pas posée assez précisément, que le terme « au hasard » pourtant si simple et si souvent usité est ambiguë et peut être interprété de différentes façons.
Reste à savoir quelle interprétation semble le plus conforme en pratique à la phrase « route prise au hasard ». Il semble que l’interprétation B qui induit indépendamment le choix d’une direction et d’une distance soit la plus proche de notre intuition expérimentale car dans ce cas la distribution des routes ne dépend pas de la présence du cercle. Ce qui n’est pas le cas des deux autres interprétations où la densité des routes est plus forte vers le bord du disque que vers le centre.Philippe Valin
