Nous sommes ici dans un contexte aléatoire, chaque colis a, a priori, la même probabilité d’être non conforme : 5 %.
Un lot de n colis peut être assimilé à un tirage de n boules dans une urne composée de p = 95 % de boules blanches (les colis conformes) et de 1-p = 5 % de boules rouges (les colis non conformes).
Le tirage est « avec remise » c’est-à-dire que les proportions restent constantes tout au long du tirage.
Si n est la taille du lot (ou de l’échantillon) la probabilité de n’avoir aucun colis non conforme correspond aux tirages successifs de n boules blanches soit 0,95 × 0,95 × ...× 0,95 = pn. Cette probabilité décroît en fonction de n voir tableau 1 ci-dessous.
Tableau 1 : probabilité d’avoir un lot de taille n sans erreur
Faut-il en déduire que n =1 est la meilleure taille ? Non car ce serait oublier que plus la taille du lot est petite plus il y a de lots dans la préparation des 100 000 colis, le nombre de lot est 100 000 / n. Et c’est le nombre de pesées qu’il faut réduire
Si chaque lot de taille n a une probabilité 1- pn d’être non conforme, le nombre de lots non conformes à attendre en moyenne au cours de la préparation est 100 000 × (1-pn)/n.
Deux cas se produisent lors de la pesée d’un lot de taille n :
1. le poids du lot est conforme et par conséquence, il n’y a qu’une seule pesée,
2. le poids est non conforme et il faut alors faire 1 + n pesées (la pesée initiale puis les n contrôles supplémentaires).
Le nombre total de pesées à attendre est donc
100 000/n + 100 000 × (1-pn)/n × n = 100 000 × (1/n + 1 - pn).
C’est-à-dire les 100 000/n pesées initiales plus un certain nombre de contrôles supplémentaires. Ce nombre est représenté par le graphique 1 suivant et le tableau 2 associé.
La taille optimale du lot est de n = 5 qui conduit à un gain de 57 % du nombre de pesées par rapport à la politique de pesée systématique.
Tableau 2 : Nombre de pesées à attendre en fonction de la taille du lot pour p = 95 %
Graphique 1 : Evolution du nombre de pesées en fonction de n
Le tableau 3 fournit la taille optimale du lot en fonction du taux de colis conformes. Celle-ci décroît rapidement lorsque le taux passe de 99% à 97 % pour se stabiliser entre n = 4 et n = 5 pour les taux de conformité jusqu’à 10%.
Tableau 3 : Taille optimale du lot en fonction du taux de conformité
